Jak zjistíte int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx pomocí parciálních zlomků?

Odpovědět:

Snažíte se rozdělit racionální funkci na částku, která bude opravdu snadno integrovatelná.

Vysvětlení:

Nejdříve: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Částečné rozložení zlomků vám to umožňuje:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # s # a, bv RR # které musíte najít.

Abyste je mohli najít, musíte násobit obě strany jedním z polynomů na levé straně rovnosti. Ukázal jsem vám jeden příklad, jiný koeficient je třeba najít stejným způsobem.

Najdeme #A#: musíme vše rozmnožit #X# aby ostatní koeficient zmizel.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

Děláš to samé, abys našel # b # (vynásobíte všechno podle # (x-1) # pak si vyberete #x = 1 #), a zjistíte, že #b = 1 #.

Tak # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, což znamená, že #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #

Jak integrujete int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) pomocí parciálních zlomků?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Musíme najít A, B, C tak, že 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) pro všechny x. Vynásobte obě strany pomocí x ^ 2 (2x-1) a dostanete 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Rovnocenné koeficienty poskytují {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} A tak máme A = -2, B = -1, C = 4. Nahradit to v počáteční rovnici, my dostaneme 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Nyní, integrovat termín termínem int t (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx pro z

Jak zjistíte int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx pomocí parciálních zlomků?

Ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C Nechť 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) být = (A / (1 + x) + B / (1 - 2x) ) Rozšiřujeme pravou stranu, dostaneme (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) Rovnice, dostaneme (A * (1 - 2x) ) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) tj. A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 nebo A - 2Ax + B + Bx = 3 nebo (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 rovnice součinitele x až 0 a rovnic rovnic, dostaneme A + B = 3 a -2A + B = 0 Řešení pro A & B, dostaneme A = 1 a B = 2 Substituce v integraci, dostaneme int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx = int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx = int (1 / (1 +

Jak integrujete int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) pomocí parciálních zlomků?

Je třeba rozložit (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) jako částečnou frakci. Hledáš a, b, cv RR tak, že (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Ukážu vám, jak najít jen, protože b a c se nacházejí přesně stejným způsobem. Vynásobíte obě strany písmenem x + 3, což způsobí, že zmizí z jmenovatele levé strany a zobrazí se vedle písmen b a c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Vyhodnotíte to na x-3,