Co je to ortogonální matice? + Příklad

Odpovědět:

V podstatě ortogonální #n xx n # matice představuje kombinaci rotace a možné úvahy o původu v # n # prostor.

Zachovává vzdálenosti mezi body.

Vysvětlení:

Ortogonální matice je ta, jejíž inverze je stejná jako její transpozice.

Typické # 2 xx 2 # ortogonální matice by byla:

#R_theta = ((cos theta, sin theta), (-sin theta, cos theta)) #

pro některé #theta v RR #

Řádky ortogonální matice tvoří ortogonální sadu jednotkových vektorů. Například, # (cos theta, sin theta) # a # (- sin theta, cos theta) # jsou vzájemně kolmé a délky #1#. Pokud budeme říkat bývalý vektor # vecA # a druhý vektor # vecB #, pak:

#vecA cdot vecB = -sinthetacostheta + sinthetacostheta = 0 #

(tedy ortogonální)

# || vecA || = sqrt (cos ^ 2theta + sin ^ 2theta) = 1 #

# || vecB || = sqrt ((- sintheta) ^ 2 + cos ^ 2theta) = 1 #

(tedy jednotkové vektory)

Sloupce také tvoří ortogonální sadu jednotkových vektorů.

Determinant ortogonální matice bude vždy #+-1#. Pokud to je #+1# potom se matice nazývá a speciální ortogonální matice.