Jak zjistíte derivaci y = Arcsinu ((3x) / 4)?

Odpovědět:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) # #

Vysvětlení:

Budete muset použít pravidlo řetězu. Připomeňme si, že tento vzorec je:

#f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) #

Myšlenka je, že nejprve vezmete derivaci nejvzdálenější funkce a pak si jen tak budete pracovat.

Než začneme, pojďme identifikovat všechny naše funkce v tomto výrazu. My máme:

• #arcsin (x) #

• # (3x) / 4 #

#arcsin (x) # je nejvzdálenější funkce, takže začneme tím, že si z toho vezmeme derivaci. Tak:

# dy / dx = barva (modrá) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) # #

Všimněte si, že to stále zachováváme # ((3x) / 4) # tam. Pamatujte si, že když používáte řetězové pravidlo, můžete rozlišovat venku, ale stále udržet vnitřní funkce při rozlišování vnějších.

# (3x) / 4 # je naše další nejvzdálenější funkce, takže budeme muset označit i derivát. Tak:

#color (šedá) (dy / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) * barva (modrá) (d / dx ((3x) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) (3/4) #

A to je konec počtu k tomuto problému! Jediné, co zbývá, je udělat nějaké zjednodušení, aby se tento výraz uklidil, a skončíme s:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) # #

Pokud byste chtěli nějakou další pomoc ohledně pravidla Řetězce, doporučuji vám podívat se na některá z mých videí na toto téma:

Doufám, že to pomohlo:)

Odpovědět:

Vzhledem k: #color (modrá) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (zelená) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #

Vysvětlení:

Vzhledem k:

#color (modrá) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Funkce Složení aplikuje jednu funkci na výsledky druhého:

Všimněte si, že argument gonometrické funkce #sin ^ (- 1) ("") # je také funkce.

Řetězové pravidlo je pravidlo pro rozlišování složení funkcí jako ten, který máme.

Řetězové pravidlo:

#color (červená) (dy / (dx) = (dy / (du)) * ((du) / (dx)) "" # (nebo)

#color (modrá) (d / (dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x #

Dostali jsme

#color (modrá) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Nechat, #f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" a "" u = (3x) / 4 #

#color (zelená) (Step.1 #

Budeme rozlišovat

#f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" # Funkce.1

za použití výsledek společného derivátu:

#color (hnědý) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

Pomocí výše uvedeného výsledku můžeme rozlišovat Funkce.1 výše jako

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) "" # Výsledek.1

#color (zelená) (Step.2 #

V tomto kroku budeme rozlišovat vnitřní funkce # (3x) / 4 #

# d / (dx) ((3x) / 4) #

Vytáhněte konstantu ven

#rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 "" #Výsledek.2

#color (zelená) (Step.3 #

Budeme je používat průběžné výsledky, Výsledek.1 a Výsledek.2 pokračovat.

Začneme s

#color (zelená) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

Nahraďte zpět #color (hnědý) (u = ((3x) / 4) #

Pak, #color (zelená) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2) / 16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2))) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) * 4 #

#rArr (3 / zrušit 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) * zrušit 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) # #

Naše konečná odpověď tedy může být napsána jako

#color (zelená) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #