Co je orthocenter trojúhelníku s rohy na (9, 5), (3, 8) a (5, 6)?

Odpovědět:

Kroky: (1) najít svahy 2 stran, (2) najít svahy čar kolmých k těmto stranám, (3) najít rovnice čar s těmi svahy, které procházejí protilehlými vrcholy, (4) najít bod, kde se tyto linie protínají, což je ortocentr, v tomto případě #(6.67, 2.67)#.

Vysvětlení:

K nalezení ortocentru trojúhelníku najdeme svahy (gradienty) dvou jeho stran, pak rovnice přímek kolmých k těmto stranám.

Můžeme použít tyto svahy plus souřadnice bodu naproti příslušné straně, abychom našli rovnice přímek kolmých k stranám, které procházejí opačným úhlem: tyto se nazývají „výšky“ pro strany.

Tam, kde jsou nadmořské výšky pro dvě strany kříže, je orthocenter (nadmořská výška pro třetí stranu by také procházela tímto bodem).

Pojďme označit naše body, aby bylo snadnější odkazovat na ně:

Bod A = #(9, 5)#

Bod B = #(3, 8)#

Bod C = #(5, 6)#

Chcete-li najít svah, použijte vzorec:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Nechceme však tyto svahy, ale svahy čar kolmých k nim. Čára kolmá k přímce se svahem # m # má svah # -1 / m #, takže čára kolmá k # AB # má svah #-2# a přímka kolmá na #PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM# má svah #1#.

Nyní můžeme najít rovnice nadmořských výšek bodu C (naproti AB) a bodu A (naproti BC) příslušným nahrazením souřadnic těchto bodů do rovnice

# y = mx + c #

Pro bod C je nadmořská výška:

# 6 = -2 (5) + c # který dává # c = 6 + 10 = 16 # proto #y = -2x + 16 #

Podobně pro bod A:

# 5 = 1 (9) + c # který dává # c = 5-9 = -4 # takže rovnice je:

# y = x-4 #

Pro nalezení ortocentra stačí najít bod, kde se tyto dva řádky kříží. Můžeme je srovnávat:

# -2x + 16 = x-4 #

Přeskupení, # 3x = 20 až x ~ ~ 6,67 #

Nahraďte do jedné rovnice # y # hodnotu, která je #2.67#.

Bod je proto orthocenter #(6.67, 2.67)#.