Jaké je obecné řešení diferenciální rovnice y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Charakteristická rovnice je:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "NEBO" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disk quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "takže máme dvě komplexní řešení, jsou" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Takže obecné řešení homogenní rovnice je:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Konkrétní řešení úplné rovnice je" #

# "y = x," #

# "To je snadné vidět." #

# "Takže kompletní řešení je:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Odpovědět:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Vysvětlení:

My máme:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Nebo:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Toto je Třetí řádová lineární nehomogenní diferenciační rovnice s konstantními koeficienty. Standardním přístupem je nalezení řešení, # y_c # homogenní rovnice pohledem na pomocnou rovnici, což je polynomiální rovnice s koeficienty derivátů, a pak nalezení nezávislého konkrétního řešení, # y_p # nehomogenní rovnice.

Kořeny pomocné rovnice určují části řešení, které, pokud jsou lineárně nezávislé, pak superpozice roztoků tvoří úplné obecné řešení.

• Skutečné zřetelné kořeny # m = alfa, beta, … # bude poskytovat lineárně nezávislá řešení formy # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Skutečné opakované kořeny # m = alfa #, přinese řešení formy # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # kde polynom má stejný stupeň jako opakování.
• Komplexní kořeny (které se musí vyskytovat jako konjugované páry) # m = p + -qi # poskytne dvojice lineárně nezávislých řešení formy # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Zvláštní řešení

Za účelem nalezení konkrétního řešení nehomogenní rovnice:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) t s #f (x) = 4 # ….. C

pak jako #f (x) # je polynom stupně stupně #0#, hledali bychom polynomiální řešení stejného stupně, tj. formy #y = a #

Takové řešení však již existuje v řešení CF, a proto musí zvážit možné řešení formuláře # y = ax #, Kde jsou konstanty #A# se stanoví přímou substitucí a srovnáváním:

Rozlišování # y = ax # wrt #X# dostaneme:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Nahrazením těchto výsledků do DE A dostaneme:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

A tak tvoříme konkrétní řešení:

# y_p = x #

Obecné řešení

Což pak vede k GS A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Všimněte si tohoto řešení #3# konstanty integrace a #3# lineárně nezávislá řešení, tedy věta o existenci a jedinečnosti, jejich superpozice je obecné řešení