Jaké jsou asymptoty a odstranitelné nespojitosti, pokud existují, f (x) = (x ^ 3-x + 2) / ((x-x ^ 2) (1-x ^ 2))?

Odpovědět:

Nejsou žádné.

Vysvětlení:

Odnímatelné nespojitosti existují, když funkce nemůže být vyhodnocena v určitém bodě, ale levý a pravý limit se v tomto bodě navzájem rovnají. Jeden takový příklad je funkce x / x. Tato funkce je jasně 1 (téměř) všude, ale nemůžeme ji hodnotit na 0, protože 0/0 je nedefinováno. Levá a pravá omezení na 0 jsou však obě 1, takže můžeme diskontinuitu „odstranit“ a dát funkci hodnotu 1 při x = 0.

Když je vaše funkce definována zlomkem polynomu, odstranění diskontinuit je synonymem zrušujících faktorů. Pokud máte čas a víte, jak rozlišovat polynomy, doporučuji vám, abyste to dokázali sami.

Faktorování vašeho polynomu je složité. Existuje však snadný způsob, jak zjistit, kde jsou nespojitosti. Nejdříve najděte všechny x tak, že jmenovatel je 0. K tomu můžete jmenovat jmenovatele takto:

# (x-x ^ 2) (1-x ^ 2) = x (1-x) (1-x) (1 + x) #

První termín jsem přepočítal vytažením společného faktoru x. Druhým termínem je rozdíl čtverců, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #.

Zde můžeme vidět nuly ve jmenovateli x = 0, x = 1 a x = -1.

Bez faktoringu čitatele můžeme ověřit, zda nuly existují v polynomu čitatele. Pokud ano, budeme muset udělat nějaké factoring. Pokud ne, pak si můžeme být jisti, že neexistují žádné faktory, které by stejně zrušily.

#(0)^3-(0)+2 = 2#

#(1)^3-(1)+2 = 2#

#(-1)^3-(-1)+2 = 2#

Ve všech třech případech jsme dostali 2, což není 0. Tak můžeme konstatovat, že žádný z nul v jmenovateli neodpovídá 0 v čitateli, takže žádná z nespojitostí nemůže být odstraněna.

Můžete si to zkontrolovat také ve zvoleném grafickém softwaru. Naleznete zde funkci, která se odchyluje na x = -1, 0 a 1. Pokud byly diskontinuity odstranitelné, měly by být v oblasti kolem diskontinuity relativně ploché, místo aby se rozbíhaly.