Polynomiální stupeň 5, P (x) má počáteční koeficient 1, má kořeny multiplicity 2 při x = 1 a x = 0 a kořen multiplicity 1 při x = -3, jak zjistíte možný vzorec pro P (X)?

Odpovědět:

#P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Vysvětlení:

Každý kořen odpovídá lineárnímu faktoru, takže můžeme napsat:

#P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 3) #

# = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) #

# = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Libovolný polynom s těmito nulami a alespoň tyto multiplicity bude násobkem (skalárem nebo polynomem) tohoto #P (x) #

Poznámka pod čarou

Přesně řečeno, hodnota #X# což má za následek #P (x) = 0 # se nazývá vykořenit z #P (x) = 0 # nebo nula z #P (x) #. Takže otázka by měla skutečně mluvit o nuly z #P (x) # nebo o kořeny z #P (x) = 0 #.

Polynom stupně 4, P (x) má kořen multiplicity 2 při x = 3 a kořeny multiplicity 1 při x = 0 a x = -3. Prochází bodem (5112). Jak najít vzorec pro P (x)?

Polynomiální stupeň 4 bude mít kořenový tvar: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Nahradí hodnoty kořenů a pak použije bod k nalezení hodnoty k. Nahraďte hodnoty pro kořeny: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Použijte bod (5,112) k nalezení hodnoty k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8) k = 7/10 Kořen z polynomu je: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Polynomiální stupeň 5, P (x) má počáteční koeficient 1, má kořeny multiplicity 2 při x = 1 a x = 0 a kořen multiplicity 1 při x = -1 Najděte možný vzorec pro P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Vzhledem k tomu, že máme kořen multiplicity 2 při x = 1, víme, že P (x) má faktor (x-1) ^ 2 Vzhledem k tomu, že máme kořen multiplicity 2 při x = 0, víme, že P (x) má faktor x ^ 2 Vzhledem k tomu, že máme kořen multiplicity 1 při x = -1, víme, že P (x) má faktor x + 1 My jsme dali, že P (x) je polynom stupně 5, a proto jsme identifikovali všech pět kořenů a faktorů, takže můžeme napsat P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Můžeme tedy psát P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Víme také, že počáteční koeficient je 1 =>

Polynomiální stupeň 5, P (x) má počáteční koeficient 1, má kořeny multiplicity 2 při x = 3 a x = 0 a kořen multiplicity 1 při x = -1?

P (x) = x ^ 5-5x ^ 4 + 3x ^ 3 + 9x ^ 2> "daný" x = a "je kořen polynomu, pak" (xa) "je faktor polynomu" "pokud" x = a "multiplicity 2 pak" (xa) ^ 2 "je faktor polynomu" "zde" x = 0 "multiplicita 2" rArrx ^ 2 "je faktor" "také" x = 3 "multiplicita 2" rArr (x-3) ^ 2 "je faktor" "a" x = -1 "multiplicita 1" rArr (x + 1) "je faktor" "polynom je součin jeho faktorů" P (x) = = x ^ 2 (x-3) ^ 2 (x + 1) barva (bílá) (P (x)) = x ^ 2 (x ^ 2-6x + 9) (x + 1