Jaký je význam limitu funkce?

Odpovědět:

Prohlášení #lim_ (x a) f (x) = L # znamená: #X# přiblíží se #A#, #f (x) # přiblíží se # L #.

Vysvětlení:

Přesná definice je:

Pro jakékoliv reálné číslo #ε>0#existuje jiné reálné číslo #δ>0# takové, že pokud # 0 <| x-a |<>, pak # | f (x) -L |<>.

Zvažte funkci #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Pokud graf vykreslíme, vypadá to takto:

Nemůžeme říci, jaká je hodnota # x = 1 #, ale vypadá to, jako by #f (x) # přístupů #2# tak jako #X# přístupů #1#.

Zkusme to ukázat #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Otázkou je, jak se dostaneme z # 0 <| x-1 |<> na # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Musíme začít s určitou hodnotou #ε# a pak najděte odpovídající hodnotu pro #δ#.

Začněme s

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Další podmínka je

# | x-1 | <δ #

Definice se hodí přesně, pokud #δ = ε#.

Právě jsme to ukázali pro každého #ε#, tady je #δ# aby # | f (x) 2 |<> když # 0 <| x 1 |<>.

Ukázali jsme to

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #