Co je orthocenter trojúhelníku s rohy na (5, 2), (3, 7) a (4, 9) #?

Odpovědět:

#(-29/9, 55/9)#

Vysvětlení:

Najděte orthocenter trojúhelníku s vrcholy #(5,2), (3,7),(4,9)#.

Pojmenuji trojúhelník # DeltaABC # s # A = (5,2) #, # B = (3,7) # a # C = (4,9) #

Orthocenter je průsečíkem výšek trojúhelníku.

Nadmořská výška je úsečka, která prochází vrcholem trojúhelníku a je kolmá na opačnou stranu.

Pokud najdete průsečík dvou ze tří výšek, jedná se o ortocentr, protože třetí nadmořská výška se bude protínat i v tomto bodě.

Pro nalezení průsečíku dvou nadmořských výšek musíte nejprve najít rovnice dvou čar, které představují nadmořské výšky, a pak je řešit v soustavě rovnic, aby se našel jejich průnik.

Nejdříve zjistíme sklon úsečky mezi #A a B # pomocí vzorce sklonu # m = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} #

#m_ (AB) = frac {7-2} {3-5} = - 5/2 #

Sklon čáry kolmý k tomuto segmentu čáry je opačným znaménkem reciprocral #-5/2#, který je #2/5#.

Použití vzorce svahu bodů # y-y_1 = m (x-x_1) # můžeme najít rovnici nadmořské výšky z vrcholu #C# na stranu # AB #.

# y-9 = 2/5 (x-4) #

# y-9 = 2/5 x -8 / 5 #

# -2 / 5x + y = 37 / 5color (bílá) (aaa) # nebo

# y = 2/5 x + 37/5 #

Chcete-li najít rovnici druhé nadmořské výšky, najděte svah jedné z ostatních stran trojúhelníku. Pojďme si vybrat BC.

#m_ (BC) = frac {9-7} {4-3} = 2/1 = 2 #

Kolmý sklon je #-1/2#.

Najít rovnici nadmořské výšky od vrcholu #A# na stranu #PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM#, opět použijte vzorec svahu bodů.

# y-2 = -1 / 2 (x-5) #

# y-2 = -1 / 2x + 5/2 #

# 1/2 x + y = 9/2 #

Systém rovnic je

#color (bílá) (a ^ 2) 1/2 x + y = 9/2 #

# -2 / 5x + y = 37/5 #

Řešení tohoto systému přináší #(-29/9, 55/9)#