Jak zjistíte derivaci tan (x - y) = x?

Odpovědět:

# (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Vysvětlení:

Předpokládám, že chcete najít # (dy) / (dx) #. K tomu nejprve potřebujeme výraz # y # ve smyslu #X#. Poznamenáváme, že tento problém má různá řešení, protože #tan (x) # je periodické funkce, #tan (x-y) = x # bude mít více řešení. Jelikož však známe tečnou funkci tečny (# pi #), můžeme provést následující: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #, kde #tan ^ (- 1) # je inverzní funkce tečny dávající hodnoty mezi # -pi / 2 # a # pi / 2 # a faktor # npi # byl přidán, aby se zohlednila periodicita tangenty.

To nám dává # y = x-tan ^ (- 1) x-npi #, proto # (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, všimněte si, že faktor # npi # zmizel. Teď musíme najít # d / (dx) tan ^ (- 1) x #. To je dost složité, ale proveditelné pomocí reverzní funkční věty.

Nastavení # u = tan ^ (- 1) x #, my máme # x = tanu = sinu / cosu #, tak # (dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #pomocí pravidla kvocientu a některých trigonometrických identit. Pomocí věty inverzní funkce (která uvádí, že pokud # (dx) / (du) # je spojitá a nenulová, máme # (du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), my máme # (du) / (dx) = cos ^ 2u #. Teď musíme vyjádřit # cos ^ 2u # z hlediska x.

K tomu používáme nějakou trigonometrii. Vzhledem k pravému trojúhelníku se stranami # a, b, c # kde #C# je přepona a # a, b # připojeno v pravém úhlu. Li # u # je úhel, kde strana #C# protíná stranu #A#, my máme # x = tanu = b / a #. Se symboly # a, b, c # v rovnicích označujeme délku těchto hran. # cosu = a / c # a používat Pythagoras teorém, my najdeme # c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. To dává # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, tak # (du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Od té doby # u = tan ^ (- 1) x #, můžeme to nahradit v naší rovnici # (dy) / (dx) # a najít # (dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.