Jak použít Integrální test k určení konvergence nebo divergence řady: součet n e ^ -n od n = 1 do nekonečna?

Odpovědět:

Vezměte integrál # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, který je konečný, a poznamenat, že to se váže #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Proto je konvergentní, takže #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # je také.

Vysvětlení:

Formální prohlášení integrálního testu uvádí, že pokud #fin 0, oo rightarrowRR # monotónní klesající funkce, která je nezáporná. Pak součet #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # je konvergentní pouze tehdy, když # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # je konečný. (Tau, Terence. Analýza I, druhé vydání. Hindustan book agency. 2009).

Toto tvrzení se může zdát trochu technické, ale myšlenka je následující. V tomto případě se funkce #f (x) = xe ^ (- x) #Všimli jsme si toho #x> 1 #, tato funkce se snižuje. Vidíme to tím, že vezmeme derivát. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, od té doby #x> 1 #, tak # (1-x) <0 # a #e ^ (- x)> 0 #.

Kvůli tomu si všimneme, že pro všechny #ninNN _ (> = 2) # a #x in 1, oo # takové #x <= n # my máme #f (x)> = f (n) #. Proto #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, tak #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + součet (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # pomocí integrace částí a to #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Od té doby #f (x)> = 0 #, my máme # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, tak #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Od té doby #f (n)> = 0 #, série #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # zvyšuje jako # N # zvyšuje. Protože je ohraničen # 3 / e #, musí se sbíhat. Proto #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # konverguje.

Jak zjistíte, zda nesprávný integrál konverguje nebo diverguje int 1 / [sqrt x] od 0 do nekonečna?

Integrál se liší. Mohli bychom použít srovnávací test pro nesprávné integrály, ale v tomto případě je integrál tak jednoduchý, že můžeme jednoduše spočítat, zda je hodnota omezena. int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) ( 2sqrtx) = oo To znamená, že integrál se liší.

Použijte Ratio Test k nalezení konvergence následující řady?

Řada je odlišná, protože limit tohoto poměru je> 1 lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 Nechť a_n je n-tý termín této řady: a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) Pak a_ (n + 1 ) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ( (n + 1)!) ^ 2) = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) = ( (2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) Mezní ho

Když používám subjunktivní náladu, měl bych použít holý infinitiv nebo jednoduchou minulost? Je například správné říci: "Přál bych si, abych měl příležitost jít s vámi." Nebo, "Přál bych si, abych měl možnost jít s tebou."

Záleží na napětí, které potřebujete, aby se věta měla smysl. Viz níže: Subjunktivní nálada je ta, která se zabývá skutečností, o kterou si přála. To je v protikladu k indikativní náladě, která se zabývá realitou, jaká je. V subjunktivní náladě jsou různé časy. Použijte ty, které byly navrženy výše, a podívejte se, jak by se dalo použít: "Přál bych si, abych měl možnost jít s vámi". Využívá to minulé subjunktivní nálady a může být použit v té