Předpokládejme, že existoval základ a určitý počet rozměrů pro podprostor W v RR ^ 4. Proč je počet rozměrů 2?

Odpovědět:

4 rozměry minus 2 omezení = 2 rozměry

Vysvětlení:

3. a 4. souřadnice jsou jediné nezávislé. První dvě mohou být vyjádřeny v termínech posledních dvou.

Odpovědět:

O dimenzi subprostoru rozhodují jeho základy a ne dimenze jakéhokoliv vektorového prostoru, kterým je subprostor.

Vysvětlení:

Rozměr vektorového prostoru je definován počtem vektorů v základu tohoto prostoru (pro nekonečné dimenzionální prostory je definován mohutností báze). Všimněte si, že tato definice je konzistentní, protože můžeme dokázat, že jakýkoliv základ vektorového prostoru bude mít stejný počet vektorů jako jakýkoli jiný základ.

V případě # RR ^ n # víme, že #dim (RR ^ n) = n # tak jako

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

je základem # RR ^ n # a má # n # Prvky.

V případě #W = s, t v RR # můžeme napsat jakýkoliv prvek # W # tak jako #svec (u) + tvec (v) # kde #vec (u) = (4,1,0,1) # a #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Z toho máme to # {vec (u), vec (v)} # je nastavený # W #. Protože #vec (u) # a #vec (v) # nejsou zjevně skalární násobky navzájem (všimněte si pozic. t #0#s), to znamená, že # {vec (u), vec (v)} # je lineárně nezávislá spanningová množina pro # W #, to je základ. Protože # W # má základ #2# Prvky, říkáme to #dim (W) = 2 #.

Všimněte si, že rozměr vektorového prostoru není závislý na tom, zda jeho vektory mohou existovat v jiných vektorových prostorech většího rozměru. Jediný vztah je ten, že # W # je podprostor #PROTI# pak #dim (W) <= dim (V) # a #dim (W) = dim (V) <=> W = V #