Trojúhelník má rohy (4, 1), (2, 4) a (0, 2) #. Jaké jsou koncové body kolmých kolmic trojúhelníku?

Odpovědět:

Snadné koncové body jsou středy, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# a ty obtížnější jsou tam, kde se biskupové setkávají s ostatními stranami, včetně #(8/3,4/3).#

Vysvětlení:

Kolmými osami trojúhelníku pravděpodobně předpokládáme kolmý oblouk každé strany trojúhelníku. Pro každý trojúhelník jsou tedy tři kolmé osy.

Každý kolmý oblouk je definován tak, aby protínal jednu stranu v jeho středu. Bude také protínat jednu z ostatních stran. Budeme předpokládat, že tyto dvě sety jsou koncové body.

Středy jsou

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Toto je pravděpodobně dobré místo, kde se můžete dozvědět více o parametrických reprezentacích čar a úseček. # t # je parametr, který se může pohybovat přes reals (pro řádek) nebo od #0# na #1# pro segment linky.

Pojďme označit body #A (4,1) #, #B (2,4) # a #C (0,2) #. Tři strany jsou:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Tak jako # t # jde z nuly na jednu, kterou sledujeme na každé straně.

Pracujme na tom. # D # je střed #PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM#, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Směrový vektor od C do B je # B-C = (2,2) #. Pro kolmici překlopíme dva koeficienty (žádný vliv zde nejsou, protože jsou oba #2#) a negovat jeden. Takže parametrická rovnice pro kolmici

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Jiný řádek, jiný parametr.) Můžeme vidět, kde se to schází na každé ze stran.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # Ověří, že kolmý bisector se setká s BC v jeho středu.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Odečítání, # t = 2-3 = - 1 #

To je mimo dosah, takže kolmá osa BC nenarazí na stranu AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

Odečítání, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

To dává ostatním koncovým bodům

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Tohle je dlouho, takže nechám ostatní dva koncové body.