Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = 6 sin x sin y na intervalu x, yv [-pi, pi]?

Odpovědět:

# x = pi / 2 # a # y = pi #

# x = pi / 2 # a # y = -pi #

# x = -pi / 2 # a # y = pi #

# x = -pi / 2 # a # y = -pi #

# x = pi # a # y = pi / 2 #

# x = pi # a # y = -pi / 2 #

# x = -pi # a # y = pi / 2 #

# x = -pi # a # y = -pi / 2 #

Vysvětlení:

Najít kritické body a #2#- proměnná funkce, musíte vypočítat gradient, což je vektor, který obsahuje deriváty s ohledem na každou proměnnou:

# (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) #

Takže máme

# d / dx f (x, y) = 6cos (x) sin (y) #a podobně

# d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y) #.

Pro nalezení kritických bodů musí být gradient nulovým vektorem #(0,0)#, což znamená řešení systému

# {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} #

což samozřejmě můžeme zjednodušit #6#:

# {(cos (x) sin (y) = 0), (sin (x) cos (y) = 0):} #

Tento systém je vyřešen výběrem #X# bod, který zničí kosinus a pro # y # bod, který zničí sinus a naopak

# x = pm pi / 2 #, a # y = pm pi #a naopak # x = pm pi # a # y = 2 pi / 2 #, získání #8# celkem.

Jaké jsou extrémní a sedlové body f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Doména definice: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval x v (0, + oo). Vyhodnoťte první a druhou derivaci funkce: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritické body jsou řešení: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 a jako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tomto bodě: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, takže kritický bod je místní minimum. Sedlové body jsou řešení: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 a jako f '' (x) je monotónní zvětšení

Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Tato funkce nemá žádné stacionární body (jste si jisti, že f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x je ta, kterou jste chtěli studovat ?!). Podle nejrozšířenější definice sedlových bodů (stacionární body, které nejsou extrémy) hledáte stacionární body funkce v její oblasti D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) v RR ^ 2}. Můžeme nyní přepsat výraz uvedený pro f následujícím způsobem: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Způsob, jak je identifikovat, je hledání bodů, které ruší gradie

Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) na intervalu x, yv [-pi, pi]?

Máme: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y Krok 1 - Najít dílčí derivace Vypočítáme parciální derivaci funkce dvou nebo více proměnných rozlišením jedné proměnné, zatímco ostatní proměnné jsou považovány za konstantní. První derivace jsou tedy: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y Druhé deriváty (citované) jsou: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx (2) 2cos2y) = -12sinxcos2y Druhé dílčí křížové deriváty jsou: f_ (xy) = -6