Odpovědět:
# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011 - 2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #
Vysvětlení:
Polo-snadný způsob, jak to vidět, je začít dělit výraz pomocí Long Division. Napište dividendu (pod symbolem dělení) s nulami jako
# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #
Nebudeme potřebovat všechny podmínky, abychom si všimli vzoru.
Když začnete dělit, uvidíte, že první termín má koeficient 1, druhý má koeficient 3, třetí má koeficient 7, pak 15, pak 31, atd.
Tato čísla mají formu # 2 ^ m - 1 #.
Zbytek se objeví poté, co jste rozdělili celou věc, skládající se z # 2011 ^ (th) # a # 2012 ^ (th) # podmínky.
První výraz v kvocientu bude následovat stejný vzor, mít #2^2011-1# jako jeho koeficient. Poslední koeficient je o 1 menší než #2^2011-1# -- to je #2^2011 - 2#, nebo #2(2^2010 - 1)#.
Stejný vzor platí pro každé rozdělení formuláře
# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, kde #m> = 3 #.
Můžete si to všimnout # x ^ 2011 - 1 # je násobkem #x - 1 #, který by zrušil faktor ve jmenovateli.
Odpovědět:
Viz. níže.
Vysvětlení:
# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #
kde #Q (x) # je #2009# stupeň polynomu a # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #
Teď víme
# 1 ^ 2011 = a + b #
# 2 ^ 2011 = 2a + b #
Řešení pro # a, b # získáme
#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # a pak
#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # který je zbytek.
