Odpovědět:
Pokud je vektor #proti# a lineární transformace vektorového prostoru #A# jsou takové #A (v) = k * v # (kde konstantní # k # je nazýván vlastní hodnota), #proti# se nazývá vlastní lineární transformace #A#.
Vysvětlení:
Představte si lineární transformaci #A# roztažení všech vektorů faktorem #2# v trojrozměrném prostoru. Libovolný vektor #proti# přeměněna na # 2v #. Proto jsou pro tuto transformaci všechny vektory vlastní vektory s vlastní hodnota z #2#.
Zvažte rotaci trojrozměrného prostoru kolem osy Z o úhel # 90 ^ o #. Je zřejmé, že všechny vektory kromě těch podél osy Z změní směr, a proto nemohou být vlastní vektory. Ale tyto vektory podél osy Z (jejich souřadnice jsou tvaru # 0,0, z #) si udrží svůj směr a délku, proto jsou vlastní vektory s vlastní hodnota z #1#.
Nakonec zvažte rotaci podle # 180 ^ o # v trojrozměrném prostoru kolem osy Z. Stejně jako dříve, všechny vektory dlouhé osy Z se nezmění, takže jsou vlastní vektory s vlastní hodnota z #1#.
Kromě toho všechny vektory v rovině XY (jejich souřadnice jsou formuláře # x, y, 0 #) změní směr na opačnou stranu a zároveň zachová délku. Proto jsou také vlastní vektory s vlastní čísla z #-1#.
Jakákoliv lineární transformace vektorového prostoru může být vyjádřena jako násobení vektoru maticí. Například první příklad protažení je popsán jako násobení maticí #A#
| 2 | 0 | 0 |
| 0 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 2 |
Taková matice, vynásobená jakýmkoliv vektorem # v = {x, y, z} # bude vyrábět # A * v = {2x, 2y, 2z} #
To se samozřejmě rovná # 2 * v #. Takže máme
# A * v = 2 * v #, který dokazuje, že každý vektor #proti# je vlastní s vlastní hodnota #2#.
Druhý příklad (otočení o # 90 ^ o # kolem osy Z) lze popsat jako násobení maticí #A#
| 0 | -1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Taková matice, vynásobená jakýmkoliv vektorem # v = {x, y, z} # bude vyrábět # A * v = {- y, x, z} #, které mohou mít stejný směr jako původní vektor # v = {x, y, z} # jen když # x = y = 0 #, tj. pokud je původní vektor nasměrován podél osy Z.
