Jaká je derivace x ^ n?

Funkce #f (x) = x ^ n #, n by mělo ne rovna 0, z důvodů, které budou jasné. n by mělo být také celé číslo nebo racionální číslo (tj. zlomek).

Pravidlo je:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Jinými slovy, my si “půjčujeme” síla x a dělat tomu koeficient derivace, a pak odečíst 1 od síly.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Jak jsem zmínil, zvláštní případ je kde n = 0. Tohle znamená tamto

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Můžeme použít naše pravidlo a technicky dostat správnou odpověď:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Nicméně, později na trati, se dostaneme do komplikací, když se pokusíme použít inverzi tohoto pravidla.

Odpovědět:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Níže jsou uvedeny důkazy pro každé číslo, ale pouze důkaz pro všechna celá čísla používají základní dovednosti definice derivátů. Důkaz pro všechny racionály používá pravidlo řetězu a pro iracionály používají implicitní diferenciaci.

Vysvětlení:

To je řečeno, ukážu jim všechny tady, abyste pochopili tento proces. Dejte si pozor #vůle# být poměrně dlouhá.

Z #y = x ^ (n) #, pokud #n = 0 # my máme #y = 1 # a derivace konstanty je nula.

Li # n # je jakékoliv jiné kladné číslo, které můžeme hodit do derivačního vzorce a použít binomický teorém k vyřešení nepořádku.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Kde # K_i # je odpovídající konstanta

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Dělení # h #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

První část můžeme vyřadit ze součtu

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Když vezmeme limit, všechno ostatní, co je ještě v součtu, jde na nulu. Výpočet # K_1 # vidíme, že se rovná # n #, tak

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Pro # n # které jsou záporná celá čísla je to trochu složitější. Vím to # x ^ -n = 1 / x ^ b #, že #b = -n # a proto je pozitivní.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Vyjměte první termín

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Vezměte limit, Kde # K_1 = b #, a to zpět do # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Pro racionály musíme použít řetězové pravidlo. Tj.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Takže, to věděl # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # a za předpokladu #n = 1 / b # my máme

# (x ^ n) ^ b = x #

Li # b # je dokonce, odpověď je technicky # | x | # ale to je dost blízko pro naše účely

Takže používáme řetězové pravidlo, které máme

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

A v neposlední řadě můžeme pomocí implicitní diferenciace prokázat všechna reálná čísla, včetně iracionálních.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #