Pomocí definice konvergence, jak dokazujete, že sekvence {2 ^ -n} konverguje z n = 1 do nekonečna?

Odpovědět:

Použijte vlastnosti exponenciální funkce k určení N jako # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # pro každého # m, n> N #

Vysvětlení:

Definice konvergence uvádí, že # {a_n} # konverguje, pokud:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Takže #epsilon> 0 # vzít #N> log_2 (1 / epsilon) # a # m, n> N # s #m <n #

Tak jako #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # tak # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Teď jako # 2 ^ x # je vždy pozitivní, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, tak

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

A jako # 2 ^ (- x) # je přísně klesající a #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Ale:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Tak:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.