Vyřešte následující rovnici: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Odpovědět:

# x = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Toto vysvětlení poskytuje spíše hloubkovou metodu určování kroků k nalezení možných faktorů, do kterých by se dala přepsat kvadratická rovnice tak, aby byla řešitelná bez kvadratické rovnice a / nebo kalkulačky.

Vysvětlení:

Nejdříve zařaďte termín na levé straně rovnice.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Rozbalte čtvercový binomický. Odvolej to # (x ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Frakce můžeme vymazat vynásobením rovnice nejméně společným jmenovatelem #3,25,# a #9,# který je #225#.

Všimněte si, že #225=3^2*5^2#, tak #225/3=75#, #225/25=9#, a #225/9=25#.

Násobení pomocí #225# dává:

# 75 (x ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Rozdělte každou multiplikativní konstantu.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Přesuňte všechny výrazy na jednu stranu a zarovnejte rovnici.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

To má potenciál být faktorovatelný: nedostatek # x ^ 3 # a #X# znamená, že to může být možné zapracovat do formuláře # (x ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Chcete-li testovat faktory, všimněte si, že bychom měli najít dvojici celých čísel, jejichž produkt je součinem prvních a konečných koeficientů, což je # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Stejná celá čísla, jejichž produkt je #3^2*11*19# by měl mít součet #-118#.

Vzhledem k tomu, že produkt je pozitivní a součet je negativní, víme, že obě celá čísla budou pozitivní.

Trik je nyní najít nějakou kombinaci čísel, která pochází z #3^2*11*19# jehož součet je #118#. (Pokud nalezneme pozitivní verzi, můžeme obě čísla snadno přepnout na jejich negativní formu.)

Měli bychom se pokusit vymyslet seskupení faktorů #3^2*11*19# které nepřekračují #118#.

Můžeme preventivně eliminovat možnost #3^2*19# a #11*19# vyskytující se buď jako jedna z našich dvou celých čísel, protože obě tyto hodnoty jsou větší než #118#. Pokud se tedy zaměříme na #19# protože je to největší faktor, víme, že bude existovat pouze jako jeden #19# nebo #3*19#.

Naše dvě možnosti pro celá čísla jsou tedy:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19) * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Proto náš pár čísel, jejichž produkt je #3^2*11*19# a součet je #118# je #19# a #99#.

Z toho můžeme napsat kvartiku jako:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Faktor podle seskupení:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Rozdělit na dvě rovnice:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Odpovědět:

Rovnice se zlomky vždy vypadají hůř, než jsou. Pokud máte rovnici a ne výraz, můžete se zbavit jmenovatelů vynásobením prostřednictvím jmenovatelů LCM.

Vysvětlení:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Začněme tím, že ve druhém období budeme jmenovat jmenovatele.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Nyní vynásobte každý termín 225, abyste zrušili jmenovatele.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + zrušit (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = zrušit (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

To je jednoznačně kvadratická, takže je rovna 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Všimněte si, že první a třetí termín jsou jako termíny, takže je můžeme přidat dohromady. Také čtverec střední období.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Odstranit závorky podle distribučního zákona:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Zjednodušit: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Zkoumání faktorů 9 a 209 vede k

9 = 3x3, nebo 9x1 a 209 = 11 x 19

Kombinace faktorů, která zvyšuje hodnotu 118, je 99 + 19

Faktorizace dává # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2-19) = 0 #

Li # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Li # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #