Jaká je derivace x ^ x?

Odpovědět:

# dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #

Vysvětlení:

My máme:

# y = x ^ x # Vezměme si přirozený log na obou stranách.

#ln (y) = ln (x ^ x) # Použití skutečnosti, že #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => ln (y) = xln (x) # Aplikovat # d / dx # na obou stranách.

# => d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) #

Pravidlo řetězce:

Li #f (x) = g (h (x)) #, pak #f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

Pravidlo napájení:

# d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # -li # n # je konstanta.

Taky, # d / dx (lnx) = 1 / x #

A konečně pravidlo produktu:

Li #f (x) = g (x) * h (x) #, pak #f '(x) = g' (x) * h (x) + g (x) * h '(x) #

My máme:

# => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) #

# => dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + cancelx * 1 / cancelx #

(Nebojte se kdy # x = 0 #, protože #ln (0) # je nedefinováno)

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => dy / dx = y (ln (x) +1) #

Od té doby # y = x ^ x #, můžeme nahradit # y #.

# => dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #