Jaké jsou asymptoty (y) a díry, pokud existují, f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1)?

Odpovědět:

#f (x) # má vertikální asymptotu na # x = -1 #, díra na # x = 1 # a horizontální asymptotu # y = 0 #. Nemá žádné šikmé asymptoty.

Vysvětlení:

#f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1) #

#color (bílá) (f (x)) = barva (červená) (zrušení (barva (černá) ((x-1))) / (barva (červená) (zrušení (barva (černá) ((x-1)))) (x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

#color (bílá) (f (x)) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

s vyloučením #x! = - 1 #

Všimněte si, že # x ^ 2 + 1> 0 # pro všechny skutečné hodnoty #X#

Když # x = -1 # jmenovatel je nula a čitatel je nenulový. Tak #f (x) # má vertikální asymptotu na # x = -1 #

Když # x = 1 # čitatel i jmenovatel definujícího výrazu pro #f (x) # jsou nula, ale zjednodušený výraz je dobře definován a spojitý # x = 1 #. Takže tam je díra # x = 1 #.

Tak jako #x -> + - oo # jmenovatelem zjednodušeného výrazu # -> oo #, zatímco čitatel je konstantní #1#. Funkce proto inklinuje #0# a má horizontální asymptotu # y = 0 #

#f (x) # nemá žádné šikmé (a.k.a. šikmé) asymptoty. Aby racionální funkce měla šikmou asymptotu, musí mít čitatel stupeň přesně o jeden více než jmenovatel.

graf {1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) -10, 10, -5, 5}