Co znamená sqrt (3 + i) ve tvaru + bi?

Odpovědět:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Předpokládat # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Vyrovnáme-li reálné a imaginární části, dostaneme:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Proto #b = 1 / (2a) #, které můžeme nahradit první rovnicí, abychom získali:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Vynásobte oba konce # 4a ^ 2 # dostat:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Tak:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Z kvadratického vzorce získáme:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Od té doby #sqrt (10)> 3 #, vyber #+# podepsat získat skutečné hodnoty pro #A#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

kde # b # má stejné označení jako #A# od té doby #b = 1 / (2a) #

Hlavní odmocnina je v Q1 s #a, b> 0 #

To je:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Ve skutečnosti, pokud #c, d> 0 # pak můžeme obdobně ukázat:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) i #