Jaký je obecný vzorec pro diskriminaci polynomu stupně n?

Odpovědět:

Viz vysvětlení …

Vysvětlení:

Diskriminační polynom #f (x) # stupně # n # lze popsat pomocí determinantu matice Sylvester #f (x) # a #f '(x) # jak následuje:

Vzhledem k:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

My máme:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Sylvesterova matice #f (x) # a #f '(x) # je # (2n-1) xx (2n-1) # matice vytvořená pomocí jejich koeficientů, podobná následujícímu příkladu pro # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Pak je diskriminační #Delta# je dána z hlediska determinanty matice Sylvester podle vzorce:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Pro # n = 2 # my máme:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(které lze ve formuláři rozpoznat lépe) #Delta = b ^ 2-4ac #)

Pro # n = 3 # my máme:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (bílá) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Diskriminanti pro kvadratiku (# n = 2 #) a krychle (# n = 3 #) jsou nejužitečnější v tom, že vám přesně řeknou, kolik reálných, opakovaných nebo nereálných komplexních nul polynomů má.

Výklad diskriminačního faktoru pro polynomy vyššího řádu je omezenější, ale vždy má vlastnost, že polynom opakoval nuly, pokud a pouze tehdy, když je diskriminační nula.

#barva bílá)()#

Další čtení

Viz