Jaké je konkrétní řešení diferenciální rovnice (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) a u (0) = - 5?

Odpovědět:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 #

Vysvětlení:

# (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) #

# 2u (du) / dt = 2t + sec ^ 2t #

#int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t #

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C #

použití IV

# (- 5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C #

#implies C = 25 #

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 #

Odpovědět:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tant + 25 #

Vysvětlení:

Začněte násobením obou stran # 2u # a # dt # oddělit diferenciální rovnici:

# 2udu = 2t + sec ^ 2tdt #

Nyní integrujte:

# int2udu = int2t + sec ^ 2tdt #

Tyto integrály nejsou příliš komplikované, ale pokud máte nějaké otázky k nim, nebojte se zeptat. Hodnotí:

# u ^ 2 + C = t ^ 2 + C + tan t + C #

Můžeme kombinovat všechny #C#s udělat jednu obecnou konstantu:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tant + C #

Dostali jsme počáteční podmínky #u (0) = - 5 # tak:

# (- 5) ^ 2 = (0) ^ 2 + tan (0) + C #

# 25 = C #

Řešení je tedy # u ^ 2 = t ^ 2 + tant + 25 #

Odpovědět:

#u (t) = -sqrt (t ^ 2 + tan (t) +25) #

Vysvětlení:

Seskupování proměnných

# 2 u du = (2t + sec ^ 2 (t)) dt #

Integrace obou stran

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan (t) + C #

#u (t) = pm sqrt (t ^ 2 + tan (t) + C) #

ale s ohledem na počáteční podmínky

#u (0) = -sqrt (C) = -5-> C = 25 #

a nakonec

#u (t) = -sqrt (t ^ 2 + tan (t) +25) #