Řešení diferenciální rovnice: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Diskutujte o tom, jaký druh diferenciální rovnice je to, a kdy může nastat?

Odpovědět:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Vysvětlení:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

nejlépe psaný jako

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 trojúhelník qquad #

což ukazuje, že se jedná o lineární homogenní diferenciální rovnici druhého řádu

má charakteristickou rovnici

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

které lze řešit následovně

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

toto je opakovaný kořen, takže obecné řešení je ve formě

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

toto je non-oscilující a modely nějaký druh exponenciálního chování, které opravdu závisí na hodnotě A a B. Jeden by mohl hádat, že to mohlo být pokus modelovat populaci nebo dravce / kořist interakce ale já nemohu opravdu říkat něco velmi specifického.

to ukazuje nestabilitu a to je asi všechno, co jsem o tom mohl říct

Odpovědět:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Vysvětlení:

Diferenciální rovnice

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

je rovnice lineárního homogenního konstantního koeficientu.

Pro tyto rovnice má obecné řešení strukturu

#y = e ^ {lambda x} #

Nahrazení máme

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Tady # e ^ {lambda x} ne 0 # takže řešení musí poslouchat

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Řešení jsme získali

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Když se kořeny opakují, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # je také řešením. V případě # n # opakujeme kořeny, budeme mít jako řešení:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # pro # i = 1,2, cdots, n #

Abychom zachovali počet počátečních podmínek, zahrnuli jsme je jako samostatná řešení.

V tomto případě máme

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

což má za následek

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Tyto rovnice se objevují při modelování lineárních soustav parametrů, jako jsou ty, které se nacházejí v teorii lineárních obvodů nebo lineární mechanice. Tyto rovnice jsou normálně zpracované používat operační algebraické metody jako Laplace transformační metody