Více o mechanice?

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Budeme používat tzv. Eulerovu formulaci Lagrange

# d / dt ((částečný L) / (částečný bod q_i) - (částečný L) / (částečný q_i) = Q_i #

kde #L = T-V #. V tomto cvičení máme # V = 0 # tak #L = T #

Povolání # x_a # střed souřadnic levého válce a. t # x_b # máme tu sílu

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

Tady # sinalpha = R / Lsintheta # tak nahrazuje # alpha #

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

nyní

#dot x_b = tečka x_a + Rsin (theta) tečka theta - ((R ^ 2cos (theta) sin (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) dot theta #

ale

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

Tady # J # je hybnost setrvačnosti týkající se hmotnostního centra. Taky,

# v_a = tečka x_a = R tečka theta #

#omega_a = dot theta #

tak, po náhradách a volání #xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # my máme

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) tečka theta ^ 2 #

Vybrali jsme si # theta # jako obecná souřadnice. Tak se to sníží #F# v souřadnici #X# ekvivalentní sílu v # theta #. Tato koordinace působí válcovitě, takže potřebujeme zobecněný hybný moment týkající se kontaktního bodu v podlaze, což je

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

Rovnice pohybu jsou získány po

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dot theta ^ 2 + (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) 2) ddot theta) = FR (1 + sin (theta)) # nyní řeší #ddot theta #

# ddottheta = (FR (1 + sin (theta)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dottheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2)) #

Připojené dva pozemky. První pořady # theta # evoluce a druhá je pro # dottheta #

Hodnota parametrů:

# R = 0,5, J = 1, m = 1, L = 2 # Použitá síla je zobrazena v červené barvě.