Jak řešit x ^ 3-3x-2 = 0?

Odpovědět:

Kořeny jsou #-1,-1,2#

Vysvětlení:

To je snadné vidět inspekcí, že #x = -1 # splňuje rovnici:

# (- 1) ^ 3-3 x (-1) -2 = -1 + 3-2 = 0 #

Abychom našli další kořeny, přepište # x ^ 3-3x-2 # mějte na paměti, že # x + 1 # je faktor:

# x ^ 3-3x-2 = x ^ 3 + x ^ 2-x ^ 2-x-2x-2 #

#qquadqquad = x ^ 2 (x + 1) -x (x + 1) -2 (x + 1) #

#qquadqquad = (x + 1) (x ^ 2-x-2) #

#qquadqquad = (x + 1) (x ^ 2 + x-2x-2) #

#qquadqquad = (x + 1) {x (x + 1) -2 (x + 1)} #

#qquadqquad = (x + 1) ^ 2 (x-2) #

Tak se naše rovnice stává

# (x + 1) ^ 2 (x-2) = 0 #

který má samozřejmě kořeny #-1,-1,2#

Můžeme to vidět také v grafu:

graf {x ^ 3-3x-2}

Odpovědět:

# x_1 = x_2 = -1 # a # x_3 = 2 #

Vysvětlení:

# x ^ 3-3x-2 = 0 #

# x ^ 3 + 1- (3x + 3) = 0 #

# (x + 1) (x ^ 2-x + 1) -3 (x + 1) = 0 #

# (x + 1) (x ^ 2-x + 1-3) = 0 #

# (x + 1) (x ^ 2-x-2) = 0 #

# (x + 1) (x + 1) (x-2) = 0 #

# (x + 1) ^ 2 * (x-2) = 0 #

Tím pádem # x_1 = x_2 = -1 # a # x_3 = 2 #