Odpovědět:
#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #
Vysvětlení:
Náš velký problém v tomto integrálu je kořen, takže se ho chceme zbavit. Můžeme to udělat zavedením substituce # u = sqrt (2x-1) #. Derivát je pak
# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #
Takže se dělíme (a pamatujeme si, že dělení vzájemností je stejné jako násobení jen jmenovatelem), abychom se mohli integrovat s ohledem na # u #:
#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / zrušit (sqrt (2x-1)) zrušit (sqrt (2x-1)) = int x ^ 2-1 # #
Nyní vše, co musíme udělat, je vyjádřit # x ^ 2 # ve smyslu # u # (protože se nemůžete integrovat #X# s ohledem na # u #):
# u = sqrt (2x-1) #
# u ^ 2 = 2x-1 #
# u ^ 2 + 1 = 2x #
# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #
# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #
Můžeme to zasunout zpět do našeho integrálu, abychom získali:
#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1
To lze vyhodnotit pomocí pravidla reverzního výkonu:
# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #
Náhrada za # u = sqrt (2x-1) #, dostaneme:
# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #
