Jaká je derivace f (x) = cos ^ -1 (x ^ 3)?

Boční komentář začít: notace # cos ^ -1 # pro inverzní kosinové funkce (explicitněji inverzní funkce omezení kosinu na. t # 0, pi #) je rozšířená, ale zavádějící. Standardní konvence pro exponenty při použití funkcí trig (např. # cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 # navrhuje #cos ^ (- 1) x # je # (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x) #. Samozřejmě to tak není, ale zápis je velmi zavádějící. Alternativní (a běžně používaný) zápis #arccos x # je mnohem lepší.

Teď pro derivaci. Jedná se o kompozitní, takže budeme používat pravidlo Řetězce. Budeme potřebovat # (x ^ 3) '= 3x ^ 2 # a # (arccos x) '= - 1 / sqrt (1-x ^ 2) # (viz počet inverzních trig funkcí).

Použití pravidla Řetěz:

# (arccos (x ^ 3)) '= - 1 / sqrt (1- (x ^ 3) ^ 2) (x ^ 3)' = - (3x ^ 2) / sqrt (1-x ^ 6) #.

Ukažte, že cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jsem trochu zmatený, když udělám Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bude záporný jako cos (180 ° -theta) = - costheta in druhý kvadrant. Jak mám doložit otázku?

Viz níže. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Jaká je první derivace a druhá derivace 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(první derivace)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(druhá derivace)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(první derivace)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(druhá derivace)"

Jak se vám zdá derivace Cos ^ -1 (3 / x)?

= (3 / x ^ 2) / (sqrt (1- (3 / x) ^ 2)) Musíme vědět, že (arccos (x)) '= - (1) / (sqrt (1-x ^ 2) )) Ale v tomto případě máme pravidlo řetězu, které máme dodržet, kde máme množinu u = 3 / x = 3x ^ -1 (arccos (u)) '= - (1) / (sqrt (1-u ^ 2) ) * u 'Potřebujeme jen najít u', u '= 3 (-1 * x ^ (- 1-1)) = - 3x ^ -2 = -3 / x ^ 2 Pak budeme mít, (arccos (3 / x)) '= - (- 3 / x ^ 2) / (sqrt (1- (3 / x) ^ 2)) = (3 / x ^ 2) / (sqrt (1- (3 / x ) ^ 2))