Nejvyšším místem na Zemi je Mt. Everest, který je 8857 m nad mořem. Pokud je poloměr Země na hladinu moře 6369 km, kolik se mění velikost g mezi hladinou moře a vrcholem Mt. Everest?

Odpovědět:

# "Snížení velikosti g" ~ ~ 0.0273m / s ^ 2 #

Vysvětlení:

Nechat

#R -> "Radius hladiny Země k moři" = 6369 km = 6369000 m #

#M -> "hmotnost Země" #

#h -> "výška nejvyššího bodu" #

# "Mt Everest od hladiny moře" = 8857m #

#g -> "Zrychlení vlivem gravitace Země" #

# "na úroveň moře" = 9,8 m / s ^ 2 #

#g '-> "Zrychlení vlivem gravitace na nejvyšší" #

# "" "místo na Zemi" #

#G -> "Gravitační konstanta" #

#m -> "hmotnost těla" #

Když je tělo hmoty m na úrovni moře, můžeme psát

# mg = G (mM) / R ^ 2 …….. (1) #

Když je tělo hmoty m na nejvyšším místě na Everstu, můžeme napsat

# mg '= G (mM) / (R + h) ^ 2 … (2) #

Dělení (2) podle (1) dostaneme

# (g ') / g = (R / (R + h)) ^ 2 = (1 / (1 + h / R)) ^ 2 #

# = (1 + h / R) ^ (- 2) ~ ~ 1- (2h) / R #

(Zanedbání podmínek vyššího výkonu # h / R # tak jako # h / R "<<" 1 #)

Nyní # g '= g (1- (2h) / R) #

Změna (snížení) velikosti g

# Deltag = g-g '= (2hg) / R = (2xx8857xx9.8) /6369000 ~ ~ 0.0273m/s^2#

Odpovědět:

# přibližně -027 m s ^ (- 2) #

Vysvětlení:

Newtonův zákon pro gravitaci

# F = (GMm) / (r ^ 2) #

A #G# je vypočítán na zemském povrchu #re# jak následuje:

# m g_e = (GMm) / (r_e ^ 2) #

Tak #g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

kdybychom měli počítat jinak #G#dostaneme

#g_ (everest) - g_ (moře) = GM (1 / (r_ (everest) ^ 2) - 1 / (r_ (moře) ^ 2)) #

# GM = 3,886005 krát 10 ^ 14 m ^ 3 s ^ (- 2) #

# přibližně 3,986005 krát 10 ^ 14 * (1 / (6369000 + 8857) ^ 2) - 1 / (6369000 ^ 2)) #

# přibližně -027 m s ^ (- 2) #

Použití diferenciací zdvojnásobit kontrolu:

#g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

#implies ln (g_e) = ln ((GM) / (r_e ^ 2)) = ln (GM) - 2 ln (r_e) #

# (dg_e) / (g_e) = - 2 (dr_e) / (r_e) #

#dg_e = - 2 (dr_e) / (r_e) g_e = -2 * 8857/6369000 * 9.81 = -0.027 ms ^ (- 2) #