Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Mohl byste to vyřešit?

Odpovědět:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Vysvětlení:

My máme:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

Nechat #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Vidíme to #u = -1 # je faktor. Pomocí syntetického dělení získáme

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Rovnice # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # lze řešit pomocí kvadratického vzorce.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 nebo -0.309 #

Od té doby #cosx = u #, dostaneme #x = pi / 5, (3pi) / 5 # a # pi #.

Kde # n # je celé číslo.

Graf # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # a # y_2 = cos (3x) # potvrzuje, že řešení jsou průsečíky.

Doufejme, že to pomůže!

Odpovědět:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Vysvětlení:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, nebo

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Kruh jednotky a vlastnost cos, dát ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

A. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Pokud k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Pokud k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Pokud k = 0 -> #x = - pi / 5 #, nebo #x = (9pi) / 5 # (co-terminál)

Pokud k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

V uzavřeném intervalu 0, 2pi jsou odpovědi:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Zkontrolujte kalkulačku.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0,119 - 0,428 = - 309 #. Se ukázala

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Se ukázala

Odpovědět:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

Vysvětlení:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Buď #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi # # nrarr #

Odpovědět:

Obecné řešení nevyžaduje trojnásobný úhel a je

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # nebo # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

pro celé číslo # k #.

Vysvětlení:

Nemám rád čtení odpovědí jiných lidí, než sám vyřeším otázku. Ale na tuto otázku se objevila odpověď. Během mého rychlého pohledu jsem si nevšiml, že to vypadá dost komplikovaně, co se mi zdá jako relativně snadná otázka. Já to udělám.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Byl jsem na Socratic na pár týdnů, a to se objevuje jako mé téma: Obecné řešení #cos x = cos a # je #x = + 360 ^ circ k quad # pro celé číslo # k.

# 180 ^ circ - 2x = 3x 3x 360 ° circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Značky bereme samostatně. Nejdříve:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Další mínus.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Pokud si tyto informace pozorně přečtete, můžete si myslet, že dělám chybu ve způsobu, jakým manipuluji # k #. Ale od # k # rozsahy přes všechna celá čísla, náhrady jako #k to -k # a #k to k + 1 # jsou povoleni a já jsem ty, aby se udrželi znamení #+# když mohou být.

Kontrola:

Pojďme se podívat na pár. Jsem dost podivný, abych to věděl #cos 36 ^ circ # je polovina Golden Ratio, ale nebudu to přesně zpracovávat, jen je poprosím do Wolfram Alpha, abych se ujistil.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #