Jak vypočítat součet tohoto? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

S ohledem na #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

ale # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # a

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # pak

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Odpovědět:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # když # | x | <1 #

Vysvětlení:

Začneme tím, že vypíšeme některé z koeficientů:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

První věc, na kterou se chceme podívat, jsou koeficienty (stupeň #X# lze poměrně snadno upravit násobením a dělením série podle #X#, takže nejsou tak důležité). Vidíme, že všechny jsou násobky dvou, takže můžeme uvést faktor dvou:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Koeficienty uvnitř této závorky mohou být rozpoznány jako binomická řada s výkonem # alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alfa = 1 + alfax + (alfa (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (alfa-1) (alfa-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Všimli jsme si, že exponenty všech termínů v závorkách jsou větší o dva v porovnání se sérií, kterou jsme právě odvodili, takže se musíme množit # x ^ 2 # získat správnou sérii:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

To znamená, že naše série je (když konverguje) rovna:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Jen abychom mohli ověřit, že jsme neudělali chybu, můžeme rychle použít řadu Binomial pro výpočet série # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Tento vzor můžeme popsat takto:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = součet (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Od prvního období je to jen #0#, můžeme psát:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

což je série, se kterou jsme začali, ověřovat náš výsledek.

Nyní stačí zjistit interval konvergence, abychom zjistili, kdy má seriál skutečně hodnotu. Můžeme to udělat tak, že se podíváme na podmínky konvergence pro binomickou sérii a zjistíme, že série konvergují, kdy # | x | <1 #