Trojúhelník A má plochu 4 a dvě strany délky 8 a 4. Trojúhelník B je podobný trojúhelníku A a má stranu o délce 13 mm. Jaké jsou maximální a minimální možné plochy trojúhelníku B?

Odpovědět:

# "Max" = 169/40 (5 + sqrt15) ~ ~ 37,488 #

# "Min" = 169/40 (5 - sqrt15) ~ ~ 4.762 #

Vysvětlení:

Nechť vrcholy trojúhelníku #A# být označeny # P #, # Q #, # R #, s #PQ = 8 # a #QR = 4 #.

Použití Heronova vzorce,

# "Oblast" = sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #, kde

#S = {PQ + QR + PR} / 2 # je poloviční obvod,

my máme

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 #

Tím pádem,

#sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #

# = sqrt {({12 + PQ} / 2) ({12 + PQ} / 2-8) ({12 + PQ} / 2-4) ({12 + PQ} / 2-PQ)} # #

# = sqrt {(12 + PQ) (PQ - 4) (4 + PQ) (12 - PQ)} / 4 #

# = "Oblast" = 4 #

Vyřešit pro #C#.

#sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2 - 16)} = 16 #

# (PQ ^ 2 - 144) (PQ ^ 2 - 16) = -256 #

# PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256 #

# (PQ ^ 2) ^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0 #

Vyplňte náměstí.

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 + 2560 = 80 ^ 2 #

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 = 3840 #

# PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15 # nebo # PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15 #

#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~ ~ 11,915 # nebo

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~ ~ 4.246 #

To ukazuje, že existují dva možné typy trojúhelníku, které splňují dané podmínky.

V případě maximální plochy pro trojúhelník chceme, aby strana s délkou 13 byla podobná straně PQ pro trojúhelník s #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~ ~ 4.246 #.

Proto je poměr lineárního měřítka

# 13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~ ~ 3.061 #

Plocha je proto zvětšena na faktor, který je čtvercem lineárního měřítka. Proto může mít trojúhelník maximální plochy B hodnotu

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 + sqrt15) ~ ~ 37,488 #

Podobně, v případě min oblasti pro trojúhelník být, chceme, aby strana s délkou 13 byla podobná straně PQ pro trojúhelník s #PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~ ~ 11,915 #.

Proto je poměr lineárního měřítka

# 13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~ ~ 1.091 #

Plocha je proto zvětšena na faktor, který je čtvercem lineárního měřítka. Proto může mít trojúhelník oblasti B minimální hodnotu

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 - sqrt15) ~ ~ 4.762 #

Trojúhelník A má plochu 12 a dvě strany délky 5 a 7. Trojúhelník B je podobný trojúhelníku A a má stranu o délce 19 mm. Jaké jsou maximální a minimální možné plochy trojúhelníku B?

Maximální plocha = 187,947 "" čtvercové jednotky Minimální plocha = 88,4082 "" čtvercové jednotky Trojúhelníky A a B jsou podobné. Podle poměru a poměrové metody řešení má trojúhelník B tři možné trojúhelníky. Pro trojúhelník A: strany jsou x = 7, y = 5, z = 4,800941906394, úhel Z = 43,29180759327 ^ @ Úhel Z mezi stranami x a y byl získán pomocí vzorce pro oblast trojúhelníku Plocha = 1/2 * x * y * sin Z 12 = 1/2 * 7 * 5 * sin ZZ = 43,29180759327 ^ @ Tři možné trojú

Trojúhelník A má plochu 12 a dvě strany délky 6 a 9. Trojúhelník B je podobný trojúhelníku A a má stranu o délce 15 mm. Jaké jsou maximální a minimální možné plochy trojúhelníku B?

Delta s A a B jsou podobné. Chcete-li získat maximální plochu Delta B, měla by strana 15 Delta B odpovídat straně 6 Delta A. Strany jsou v poměru 15: 6 Proto budou plochy v poměru 15 ^ 2: 6 ^ 2 = 225: 36 Maximální plocha trojúhelníku B = (12 * 225) / 36 = 75 Stejně jako pro dosažení minimální plochy bude strana 9 Delta A odpovídat straně 15 Delta B. Strany jsou v poměru 15: 9 a plochy 225: 81 Minimální plocha Delta B = (12 * 225) / 81 = 33,3333

Trojúhelník A má plochu 12 a dvě strany délky 7 a 7. Trojúhelník B je podobný trojúhelníku A a má stranu o délce 19 mm. Jaké jsou maximální a minimální možné plochy trojúhelníku B?

Plocha trojúhelníku B = 88.4082 Jelikož trojúhelník A je rovnoramenný, trojúhelník B bude rovnoramenný.Strany trojúhelníků B & A jsou v poměru 19: 7 Plochy budou v poměru 19 ^ 2: 7 ^ 2 = 361: 49:. Plocha trojúhelníku B = (12 * 361) / 49 = 88,4082