Co je Taylorovo rozšíření e ^ (- 2x) na střed = x?

Odpovědět:

#e ^ (- 2x) = součet (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Vysvětlení:

Případ série Taylor se rozšířil #0# se nazývá série Maclaurin. Obecný vzorec řady Maclaurin je:

#f (x) = součet (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Pro vypracování série pro naši funkci můžeme začít s funkcí pro # e ^ x # a pak použijte, abyste zjistili vzorec pro #e ^ (- 2x) #.

Abychom mohli sestavit Maclaurinovu řadu, musíme zjistit n-té derivaci # e ^ x #. Pokud vezmeme několik derivátů, můžeme rychle vidět vzor:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

Ve skutečnosti, nth derivát # e ^ x # je jen # e ^ x #. Můžeme to zařadit do vzorce Maclaurin:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) x ^ n = součet (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Teď, když máme taylor sérii pro # e ^ x #, můžeme jen nahradit všechny #X#s # -2x # získat sérii #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = součet (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = součet (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

což je série, kterou jsme hledali.