Vyřešte následující rovnici v přirozených číslech: x² + y² = 1997 (x-y)?

Odpovědět:

# (x, y) = (170, 145) # nebo # (x, y) = (1817, 145) #

Vysvětlení:

Následující důkaz je založen na tom v knize "Úvod do diofantických rovnic: Přístup založený na problémech" Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Vzhledem k:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Nechat #a = (x + y) # a #b = (1997-x + y) #

Pak:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Proto zjistíme:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Od té doby #1997# je prvočíslo, #A# a # b # nemají společný faktor větší než #1#.

Proto existují pozitivní celá čísla #m, n # s #m> n # a žádný společný faktor větší než #1# takové, že:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} barva (bílá) (XX) "nebo" barva (bílá) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Při pohledu na # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # v mod #3# a mod #5# aritmetiku, zjistíme:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) #m - = + -1 # a #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) #m - = + -1 # a #n - = + -1 # (mod #5#)

To znamená, že jediné možnosti #m, n # modulo #15# jsou #1, 4, 11, 14#.

Dále si všimněte, že:

# m ^ 2 in (1997/2, 1997) #

Proto:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~ ~ (31,6, 44,7) #

Takže jediné možnosti # m # jsou #34, 41, 44#

Shledáváme:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# není dokonalé náměstí.

#1997 - 44^2 = 61# není dokonalé náměstí.

Tak # (m, n) = (34, 29) #

Tak:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

nebo

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#barva bílá)()#

Li # (a, b) = (1972, 315) # pak:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

a tedy:

# (x, y) = (1817, 145) #

#barva bílá)()#

Li # (a, b) = (315, 1972) # pak:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

a tedy:

# (x, y) = (170, 145) #