Jaké pokusy byly učiněny, když se lidé pokoušeli dokázat Collatzovu hypotézu?

Odpovědět:

Pár myšlenek …

Vysvětlení:

Velký polský matematik Paul Erdős řekl o Collatzově předpokladu, že "matematika nemusí být na takové problémy připravena." Nabídl cenu 500 dolarů za řešení.

Zdá se, že je to dnes jako neřešitelné.

Je možné vyjádřit Collatzův problém několika různými způsoby, ale neexistuje žádná skutečná metoda, jak se ho pokusit vyřešit. Když jsem byl před téměř 40 lety na univerzitě, zdálo se, že jediná myšlenka lidí je, že se na to dívají pomocí 2-adické aritmetiky.

Přemýšlel jsem, že se to pokusím oslovit pomocí nějakého metodicko-teoretického přístupu, ale asi nejlepší, co by mohlo být, by bylo ukázat, že sada čísel, která nenarazila #1# je míra #0#. To by nevylučovalo existenci protějšků.

Souhrn Collatz byl zkontrolován počítačem pro čísla do cca #10^20#, ale to jen dokazuje, že je to věrohodné - neprokazuje to, že to platí pro všechna čísla.

Abychom pochopili, proč iterativní procesy, jako je to v Collatzově dohadech, jsou tak těžké řešit obecně, může to pomoci zjistit, jak bohatá je kombinace sčítání a násobení na přirozených číslech.

Pokud například definujete jakýkoliv formální matematický systém s konečným počtem symbolů a povolených operací, stačí k jeho kódování základní aritmetika. To pak stane se možné postavit algebraické prohlášení, které interpretuje říká účinně “já nejsem dokázatelný v tomto formálním systému”. Takové prohlášení je pak pravdivé, ale ne prokazatelné. Formální systém je tedy prokazatelně neúplný.

To je zhruba podstata důkazu Gödelovy druhé věty o neúplnosti.