Co jsou extrémní a sedlové body f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Odpovědět:

Vysvětlení:

My máme:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Krok 2 - Identifikace kritických bodů

K kritickému bodu dochází při současném řešení

# f_x = f_y = 0 iff (částečný f) / (částečný x) = (částečný f) / (částečný y) = 0 #

když:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Současným řešením A a B získáme jediné řešení:

# x = y = 1 #

Můžeme tedy konstatovat, že existuje jeden kritický bod:

# (1,1) #

Krok 3 - Klasifikujte kritické body

Abychom mohli klasifikovat kritické body, provádíme podobný test jako u jednoho variabilního počtu pomocí druhých parciálních derivátů a Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((částečné ^ 2 f) / (částečné x ^ 2), (částečné ^ 2 f) / (částečné x částečné y)), ((částečné ^ 2 f) / (částečné y částečné x), (částečné ^ 2 f)) / (částečný y ^ 2)) = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Pak záleží na hodnotě #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Je maximální, pokud" f_ (xx) <0), (, "a minimum, pokud" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "je sedlový bod"), (Delta = 0, je nutná další analýza):} #

Pomocí vlastních maker programu jsou hodnoty funkcí spolu s hodnotami dílčích derivátů vypočteny následovně: