Pokud a ^ 3 + b ^ 3 = 8 a ^ 2 + b ^ 2 = 4, jaká je hodnota (a + b)?

Odpovědět:

Pro součet existují dvě možné hodnoty, # a + b = 2 # (pro # a = 2 # a # b = 0 #) nebo # a + b = -4 # (pro # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Vysvětlení:

Tam jsou opravdu dva neznámé, součet a produkt #A# a # b, # tak ať #x = a + b # a #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Dvě rovnice ve dvou neznámých, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

To se nazývá depresivní krychle, a ty mají docela jednoduché uzavřené formy řešení, jako je kvadratický vzorec. Ale spíše než se toho dotknout, pojďme hádat kořen podle času ctěné metody zkoušení malých čísel. Vidíme # x = 2 # funguje # (x-2) # je faktor.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Můžeme nyní dále faktor

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Existují tedy dvě možné hodnoty součtu, # a + b = 2 # a # a + b = -4.

První odpověď odpovídá reálnému řešení # a = 2, b = 0 # a symetrií # a = 0, b = 2 #. Druhá odpověď odpovídá součtu dvojice komplexních konjugátů. Jsou # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. Můžete zkontrolovat toto řešení?

Odpovědět:

# (a + b) = 2, nebo a + b = -4 #

Vysvětlení:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (a + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Nyní,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (a + b) (4-ab) = 8 #

# => (a + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (a + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Nechat,

# (a + b) = x #

Tak, # => x (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => x (12-x ^ 2) = 16 #

# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #

Pozorujte to #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (x-2) # je faktor.

Nyní, # x ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, nebo, x = -4 #.

#:. a + b = 2, nebo a + b = -4 #.

Graf je uveden zde.

Hodnota #color (červená) ((a + b) = 2, nebo -4.

Doufám, že to pomůže…

Děkuji…