Jak testujete konvergenci pro 1 / ((2n + 1)!)?

Odpovědět:

V případě, že jste mysleli "test konvergence. T série: #sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!) #'

Odpověď je: to #color (blue) "konverguje" #

Vysvětlení:

Pro zjištění, můžeme použít poměrový test.

To je, pokud # "U" _ "n" # je # n ^ "th" # období

Pak, pokud to ukážeme #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U" _n) <1 #

to znamená, že série konverguje

Na druhé straně, pokud #lim_ (nrarr + oo) abs (("U" _ ("n" +1)) / "U" _n)> 1 #

to znamená, že série se liší

V našem případě

# "U" _n = 1 / ((2n + 1)!) #

#' '# a

# "U" _ ("n" +1) = 1 / (2 (n + 1) +1!) = 1 / (2n + 3!) #

Proto, # "U" _ ("n" +1) / "U" _n = 1 / ((2n + 3)!) ÷ 1 / ((2n + 1)!) = ((2n + 1)!) / ((2n + 3)!) #

# "Všimněte si, že:: #

# (2n + 3)! = (2n + 3) xx (2n + 2) xx (2n + 1)! #

Stejně jako: # 10! = 10xx9xx8! #

Odčítáme #1# pokaždé, když se dostane další

Takže máme, # "U" _ ("n" +1) / "U" _n = ((2n + 1)!) / ((2n + 3) (2n + 2) (2n + 1)!) = 1 / ((2n + 3) (2n + 2)) #

Dále testujeme, #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U" _n) #

# = lim_ (nrarr + oo) abs (1 / ((2n + 3) (2n + 2))) = lim_ (nrarr + oo) 1 / ((4n ^ 2 + 10n + 6)) = 1 / (+ oo) = 0 "" # a #0# je méně než #1#

Je tedy zcela bezpečné uzavřít, že série #color (blue) "konverguje"! #