Jaké jsou asymptoty a odstranitelné nespojitosti, pokud existují, f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Odpovědět:

#f (x) # má horizontální asymptotu # y = 0 # a vertikální asymptota # x = 0 #

Vysvětlení:

Vzhledem k:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Doména čitatele #sqrt (x) # je # 0, oo #

• Doména jmenovatele # e ^ x - 1 # je # (- oo, oo) #

• Jmenovatel je nula, když # e ^ x = 1 #, která pro reálné hodnoty #X# nastane pouze když # x = 0 #

Proto je doménou #f (x) # je # (0, oo) #

Použití rozšíření řady # e ^ x #, my máme:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (bílá) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (bílá) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (bílá) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Tak:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (bílá) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (bílá) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (bílá) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

a:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Tak #f (x) # má vertikální asymptotu # x = 0 # a horizontální asymptotu # y = 0 #

graf {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6,1, 13,9, -2,92, 7,08}