Jaká je derivace f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Metoda 1:

Začneme tím, že přepíšeme pravidlo změny základny #f (x) # ekvivalentně jako:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Víme, že # d / dx ln x = 1 / x #.

(Pokud se tato identita jeví jako neznámá, prohlédněte si některá videa na této stránce pro další vysvětlení)

Použijeme tedy pravidlo řetězu:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

Derivace #ln x / 6 # bude # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

Zjednodušení nám dává:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Metoda 2:

První věc, kterou je třeba poznamenat, je pouze # d / dx ln (x) = 1 / x # kde #ln = log_e #. Jinými slovy, pouze pokud je základna #E#.

Musíme tedy převést # log_6 # výrazu, který má pouze #log_e = ln #. To používáme tuto skutečnost

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # když # n = e #

Teď, ať #z = (ln x / ln 6) # aby #f (x) = z ^ 2 #

Proto, #f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# = (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #