Jaké jsou možné racionální kořeny x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Odpovědět:

Tento kvintik nemá žádné racionální kořeny.

Vysvětlení:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Podle racionální věty o kořenech, nula #f (x) # jsou vyjádřeny ve formuláři # p / q # pro celá čísla #p, q # s # p # dělitel konstantního termínu #-12# a # q # dělitel koeficientu #1# období.

To znamená, že jediné možné Racionální nuly jsou:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Všimněte si, že #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # má všechny negativní koeficienty. Proto #f (x) # nemá žádné negativní nuly.

Takže jediné možné Racionální nuly jsou:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Vyhodnocení #f (x) # pro každou z těchto hodnot zjistíme, že žádný není nula. Tak #f (x) # nemá žádný Racionální nuly.

V obyčejný s většinou quintics a polynomials vyššího stupně, nuly nejsou expressible v termínech # n #tové kořeny nebo elementární funkce, včetně goniometrických funkcí.

Pro nalezení aproximací můžete použít numerické metody, například Durand-Kerner:

# x_1 ~ ~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~ ~ -0,640414 + -0,877123i #

#x_ (4,5) ~ ~ 0,716229 + -0,587964i #