Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x)? Více otázek

Odpovědět:

Viz. níže:

Vysvětlení:

Prohlášení - Předpokládám, že # phi_0 #, # phi_1 # a # phi_2 # označují zem, první excitované a druhé excitované stavy nekonečné studny, respektive stavy konvenčně označované # n = 1 #, # n = 2 #, a # n = 3 #. Tak, # E_1 = 4E_0 # a # E_2 = 9E_0 #.

(d) Možné výsledky měření energie jsou # E_0 #, # E_1 # a # E_2 # - s pravděpodobnostmi #1/6#, #1/3# a #1/2# resp.

Tyto pravděpodobnosti jsou nezávislé na čase (jak čas se vyvíjí, každý kus zvedne fázový faktor - pravděpodobnost, která je dána modulem kvadrát koeficientů - nezmění se jako výsledek.

(c) Hodnota očekávání je # 6E_0 #. Pravděpodobnost měření energie, která je výsledkem tohoto výsledku, je 0. To platí pro všechny časy.

Vskutku, # 6E_0 # není energetická hodnota - takže měření energie nikdy nedává tuto hodnotu - bez ohledu na to, jaký je stav.

(e) Okamžitě po měření, které poskytuje # E_2 #, stav systému je popsán vlnovou funkcí

#psi_A (x, t_1) = phi_2 #

V #t_> t_1 #, vlnová funkce je

# psi_A (x, t) = phi_2 e ^ {- iE_2 / ℏ (t-t_1)} #

Jedinou možnou hodnotou, kterou měření energie přinese, je tento stav # E_2 # - po celou dobu # t_2> t_1 #.

(f) Pravděpodobnost závisí na čtvercovém modulu koeficientů - tedy

#psi_B (x, 0) = sqrt {1/6} phi_0-sqrt {1/3} phi_1 + isqrt {1/2} phi_2 #

bude fungovat (existuje nekonečně mnoho možných řešení). Vzhledem k tomu, že se pravděpodobnosti nezměnily, hodnota očekávání energie bude automaticky stejná jako hodnota #psi_A (x, 0) #

(g) Od # E_3 = 16 E_0 #, můžeme získat očekávanou hodnotu # 6E_0 # pokud máme # E_1 # a # E_3 # s pravděpodobnostmi # p # a # 1-p # -li

# 6E_0 = pE_1 + (1-p) E_3 = 4pE_0 + 16 (1-p) E_0 znamená #

# 16-12p = 6 znamená p = 5/6 #

Takže možná vlnová funkce (opět jedna z nekonečně mnoha možností) je

#psi_C (x, 0) = sqrt {5/6} phi_1 + sqrt {1/6} phi_3 #