Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Vypočítat hodnotu očekávání v každém pozdějším čase t = t_1, phi_n jsou energetické vlastní funkce nekonečného potenciálu dobře. Napište odpověď v termínech E_0?

No, dostanu # 14 / 5E_1 #… a vzhledem k vašemu zvolenému systému, nemůže být znovu vyjádřen v termínech # E_0 #.

V této otázce je tolik pravidel kvantové mechaniky …

# phi_0 #, protože používáme nekonečné potenciální dobře řešení, zmizí automaticky … #n = 0 #, tak #sin (0) = 0 #.

A pro kontext jsme to nechali #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

to je nemožné napsat odpověď z hlediska # E_0 # protože #n = 0 # neexistuje pro nekonečný potenciál dobře. Pokud nechcete, aby částice zmizet , Musím to napsat z hlediska # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…
Energie je konstanta pohybu, tj. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Tak teď…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

Hodnota očekávání je konstantou pohybu, takže nám nezajímá, kolik času # t_1 # vybíráme si. Jinak to není konzervativní systém …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # pro některé #n = 1, 2, 3,… #

Ve skutečnosti už víme, co by mělo být, protože Hamiltonian pro jedno-dimenzionální potenciál nekonečného potenciálu je časově nezávislý …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

a # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # přejděte na 1 v integrálu:

#color (modrá) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

kde jsme nechali #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Opět platí, že všechny faktory fáze se ruší, a my si všimneme, že off-diagonální termíny jdou na nulu kvůli ortogonalitě # phi_n #.

Jmenovatel je normou # Psi #, který je

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Proto, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. To dává:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) zrušit (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) zrušit (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) zrušit (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) zrušit (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Použít deriváty:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Konstanty se vznáší:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

A tento integrál je známý z fyzikálních důvodů, aby se nacházel uprostřed #0# a # L #, nezávislý na # n #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) # #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = barva (modrá) (14/5 E_1) #

Odpovědět:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Vysvětlení:

Každý stacionární stav odpovídající energetické hodnotě # E_n # snímá fázový faktor #e ^ {- iE_n t} # o vývoji času. Daný stav je ne stacionární stav - protože je to superpozice energetických eigenstátů patřících do různých vlastních čísel. V důsledku toho se bude časem vyvíjet netriviálním způsobem. Nicméně, Schroedinger rovnice, která řídí časovou evoluci států je lineární - tak že každá složka energie eigenfunction se vyvíjí nezávisle - zvednout jeho vlastní fázový faktor.

Takže počáteční vlnová funkce

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

vyvíjí včas # t # na

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

To znamená, že hodnota očekávané energie v čase # t # darováno

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) klobouk {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) klobouk {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) časy (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

kde jsme použili skutečnost, že. t #phi_i (x) # jsou energie vlastní funkce, takže #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

To nám stále dává devět termínů. Konečný výpočet je však značně zjednodušen tím, že energetické vlastní funkce jsou orto-normalizovány, tj. poslouchají

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

To znamená, že z devíti integrálů přežijí jen tři a dostaneme

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Pomocí standardního výsledku to #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, my máme # E_1 = 4E_0 # a # E_2 = 9E_0 # pro nekonečný potenciál dobře (můžete být více zvyklí na výraz, který říká #E_n propto n ^ 2 # pro nekonečnou studnu - ale v těchto zemích je pozemní stav označen # E_1 # - tady to označujeme # E_0 # - tedy změna). Tím pádem

# <E> = (1/6 krát 1 + 1/3 krát 4 + 1/2 krát 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Poznámka:

Zatímco jednotlivé energetické vlastní funkce se vyvíjejí v čase tím, že zvednou fázový faktor, celkovou vlnovou funkci ne liší se od počátečního pouze fázovým faktorem - proto již není stacionárním stavem.
Zapojené integrály byly podobné

# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} krát int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

a tyto vypadají, že jsou závislé na čase. Jediné integrály, které přežijí, jsou však jediné # i = j # - a to jsou právě ty, pro které se časová závislost ruší.
Poslední výsledky odpovídají skutečnosti, že #hat {H} # je zachován - i když stát není stacionárním stavem - hodnota očekávání energie je nezávislá na čase.
Funkce původních vln je již normalizována # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # a tato normalizace je zachována v časovém vývoji.
Kdybychom použili standardní kvantový mechanický výsledek, mohli bychom snížit spoustu práce - pokud je funkce vlny rozšířena ve formě #psi = sum_n c_n phi_n # Kde # phi_n # jsou vlastní funkce hermitského operátora #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, pak # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, za předpokladu, že státy jsou řádně normalizovány.