Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) na intervalu x, yv [-pi, pi]?

Odpovědět:

Vysvětlení:

My máme:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# 2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

Krok 2 - Identifikace kritických bodů

K kritickému bodu dochází při současném řešení

# f_x = f_y = 0 iff (částečný f) / (částečný x) = (částečný f) / (částečný y) = 0 #

když:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # zároveň

Zvažte rovnici A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Pak máme dvě řešení:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Použijte Eq B k nalezení odpovídající souřadnice:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

=> 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x v RR # (okapy)

Což nám dává následující kritické body:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) t (4 kritické body)

# (+ -pi / 2, + -pi) t (4 kritické body)

# (alfa, 0) AA alfa v RR (odtoková čára)

# (alfa, + -pi) AA alfa v RR (2 žlaby)

Zvažte rovnici B

# -6sinxsin2y = 0 #

Pak máme dvě řešení:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Použijte nyní Eq A k nalezení odpovídající souřadnice @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (opakuje se výše)

# y = 0 => x v RR # (opakování výše)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# = x = + - pi / 2 # (opakuje se výše)

Což nám neposkytuje žádné další kritické body:

Krok 3 - Klasifikujte kritické body

Abychom mohli klasifikovat kritické body, provádíme podobný test jako u jednoho variabilního počtu pomocí druhých parciálních derivátů a Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((částečné ^ 2 f) / (částečné x ^ 2), (částečné ^ 2 f) / (částečné x částečné y)), ((částečné ^ 2 f) / (částečné y částečné x), (částečné ^ 2 f)) / (částečný y ^ 2)) = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Pak záleží na hodnotě #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Je maximální, pokud" f_ (xx) <0), (, "a minimum, pokud" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "je sedlový bod"), (Delta = 0, je nutná další analýza):} #

Pomocí vlastních maker programu jsou hodnoty funkcí spolu s hodnotami dílčích derivátů vypočteny následovně:

Zde je graf funkce

A ploit s kritickými body (a okapy)

Jaké jsou extrémní a sedlové body f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Doména definice: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval x v (0, + oo). Vyhodnoťte první a druhou derivaci funkce: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritické body jsou řešení: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 a jako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tomto bodě: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, takže kritický bod je místní minimum. Sedlové body jsou řešení: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 a jako f '' (x) je monotónní zvětšení

Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Tato funkce nemá žádné stacionární body (jste si jisti, že f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x je ta, kterou jste chtěli studovat ?!). Podle nejrozšířenější definice sedlových bodů (stacionární body, které nejsou extrémy) hledáte stacionární body funkce v její oblasti D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) v RR ^ 2}. Můžeme nyní přepsat výraz uvedený pro f následujícím způsobem: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Způsob, jak je identifikovat, je hledání bodů, které ruší gradie

Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = 6 sin x sin y na intervalu x, yv [-pi, pi]?

X = pi / 2 a y = pi x = pi / 2 a y = -pi x = -pi / 2 a y = pi x = -pi / 2 a y = -pi x = pi a y = pi / 2 x = pi a y = -pi / 2 x = -pi a y = pi / 2 x = -pi a y = -pi / 2 Chcete-li najít kritické body funkce s 2 proměnnými, musíte vypočítat gradient, který je vektor cointaining derivátů s ohledem na každou proměnnou: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Takže máme d / dx f (x, y) = 6cos (x ) sin (y) a podobně d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Pro nalezení kritických bodů musí být gradient nulovým vektorem (0,0), což znamená řešení systému {(6cos (