Jaká je derivace f (x) = ln (sin ^ -1 (x))?

Boční komentář začít: notace # sin ^ -1 # pro inverzní sinusovou funkci (více explicitně inverzní funkci omezení sine na. t # - pi / 2, pi / 2 #) je rozšířená, ale zavádějící. Standardní konvence pro exponenty při použití funkcí trig (např. # sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 # navrhuje #sin ^ (- 1) x # je # (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x) #. Samozřejmě to tak není, ale zápis je velmi zavádějící. Alternativní (a běžně používaný) zápis #arcsin x # je mnohem lepší.

Teď pro derivaci. Jedná se o kompozitní, takže budeme používat pravidlo Řetězce. Budeme potřebovat # (ln x) '= 1 / x # (viz počet logaritmů) a # (arcsin x) '= 1 / sqrt (1-x ^ 2) # (viz počet inverzních trig funkcí).

Použití pravidla Řetěz:

# (ln (arcsin x)) '= 1 / arcsin x krát (arcsin x)' = 1 / (arcsin x sqrt (1-x ^ 2)) #.

Jaká je derivace f (x) = sin (cos (tanx))?

F '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) f (x) = sin (g (x)) f' (x) = g '(x) cos (g (x)) g (x) = cos (h (x)) g '(x) = - h' (x) hřích (h (x)) h (x) = tan (x) h '(x) = sec ^ 2x g '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) g (x) = cos (tanx) f' (x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx))

Jaká je derivace této funkce y = sin x (e ^ x)?

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx)

Jaká je první derivace a druhá derivace 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(první derivace)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(druhá derivace)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(první derivace)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(druhá derivace)"