Jak zjistíte objem pevné látky vytvořený otáčením oblasti ohraničené křivkami y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) otočenou kolem y = 4?

Odpovědět:

# V = 685 / 32pi # krychlových jednotek

Vysvětlení:

Nejprve načrtněte grafy.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

#X#-intercept

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # A máme to # {(x = 0), (x = 1):} #

Takové zachycení jsou #(0,0)# a #(1,0)#

Získat vrchol:

# y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Takže vrchol je na #(1/2,-1/4)#

Opakovat předchozí:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # A máme to # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Takové zachycení jsou # (sqrt (3), 0) # a # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Takže vrchol je na #(0,3)#

Výsledek:

Jak získat objem? Použijeme disk!

Tato metoda je jednoduše taková, že: # "Volume" = piint_a ^ by ^ 2dx #

Myšlenka je jednoduchá, ale musíte ji chytře použít.

A to je to, co budeme dělat.

Pojďme zavolat na náš objem #PROTI#

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

Pozn.: beru # (4-y) # protože # y # je pouze vzdálenost od #X#- na křivce, zatímco vzdálenost od čáry # y = 4 # na křivku!

Teď najít #A# a # b #, srovnáváme # y_1 # a # y_2 # a pak řešit #X#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = -1):} # #

Od té doby #A# přijde dříve # b #, # => a = -1 # a # b = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1,5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1,5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1,5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Udělejte to samé # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1,5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1,5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1,5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = barva (modrá) ((685pi) / 32) #