Existují tři po sobě jdoucí kladná celá čísla tak, že součet čtverců nejmenších dvou je 221. Jaká jsou čísla?

Odpovědět:

Existují #10, 11, 12#.

Vysvětlení:

Můžeme zavolat na první číslo # n #. Druhé číslo musí být konsekutivní, tak to bude # n + 1 # a třetí je # n + 2 #.

Podmínkou je, že čtverec prvního čísla # n ^ 2 # plus čtverec následujícího čísla # (n + 1) ^ 2 # je 221. Můžeme psát

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = 221 #

# n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 221 #

# 2n ^ 2 + 2n = 220 #

# n ^ 2 + n = 110 #

Nyní máme dvě metody, jak tuto rovnici vyřešit. Ještě jedna mechanika, jedna umělecká.

Mechanika má řešit rovnici druhého řádu # n ^ 2 + n-110 = 0 # použití vzorce pro rovnice druhého řádu.

Uměleckým způsobem je psát

#n (n + 1) = 110 #

a pozorujeme, že chceme, aby produkt dvou po sobě jdoucích čísel byl #110#. Protože čísla jsou celá čísla, můžeme tato čísla hledat ve faktorech #110#. Jak můžeme psát #110#?

Všimli jsme si například, že to můžeme napsat jako #110=10*11#.

Zdá se, že jsme našli naše po sobě jdoucí čísla!

#n (n + 1) = 10 * 11 #.

Pak # n = 10, n + 1 = 11 # a třetí číslo (pro problém není příliš užitečné) # n + 2 = 12 #.

Tři po sobě jdoucí celá čísla mohou být reprezentována n, n + 1 a n + 2. Pokud je součet tří po sobě jdoucích celých čísel 57, jaká jsou celá čísla?

18,19,20 Součet je přidání čísla, takže součet n, n + 1 a n + 2 může být vyjádřen jako n + n + 1 + n + 2 = 57 3n + 3 = 57 3n = 54 n = 18 tak naše první číslo je 18 (n) naše druhá je 19, (18 + 1) a naše třetí je 20, (18 + 2).

Tři po sobě jdoucí lichá celá čísla jsou taková, že čtverec třetího čísla je o 345 méně než součet čtverců prvních dvou. Jak zjistíte celá čísla?

Existují dvě řešení: 21, 23, 25 nebo -17, -15, -13 Pokud je nejméně celé číslo n, pak ostatní jsou n + 2 a n + 4 Interpretace otázky, máme: (n + 4) ^ 2 = n ^ 2 + (n + 2) ^ 2-345, který se rozšiřuje na: n ^ 2 + 8n + 16 = n ^ 2 + n ^ 2 + 4n + 4 - 345 barev (bílá) (n ^ 2 + 8n +16) = 2n ^ 2 + 4n-341 Odečtení n ^ 2 + 8n + 16 z obou konců, zjistíme: 0 = n ^ 2-4n-357 barva (bílá) (0) = n ^ 2-4n + 4 -361 barva (bílá) (0) = (n-2) ^ 2-19 ^ 2 barva (bílá) (0) = ((n-2) -19) ((n-2) +19) barva (bílá ) (0) = (n-21) (n + 17) So: n = 21

"Lena má 2 po sobě jdoucí celá čísla."Všimne si, že jejich součet se rovná rozdílu mezi jejich čtverci. Lena vybírá další 2 po sobě jdoucí celá čísla a všimne si totéž. Prokázat algebraicky, že to platí pro všechny 2 po sobě jdoucí celá čísla?

Laskavě se podívejte na Vysvětlení. Připomeňme, že po sobě jdoucí celá čísla se liší o 1. Proto, pokud m je jedno celé číslo, pak musí být následující celé číslo n + 1. Součet těchto dvou celých čísel je n + (n + 1) = 2n + 1. Rozdíl mezi jejich čtverci je (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, podle potřeby! Cítit radost z matematiky!