Co je orthocenter trojúhelníku s rohy na (4, 7), (8, 2) a (5, 6) #?

Odpovědět:

Souřadnice ortocentra #color (červená) (O (40, 34) #

Vysvětlení:

Sklon úsečky BC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

Svah #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Výšková rovnice procházející přes A a kolmá k BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

Sklon úsečky AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

Svah nadmořské výšky BE kolmý k BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

Výšková rovnice procházející B a kolmá k AC

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Eqn (2)

Řešení Eqns (1), (2) dorazíme na souřadnice ortocentru Ó

#x = 40, y = 34 #

Souřadnice ortocentru #O (40, 34) #

Ověření:

Svah #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

Rovnice nadmořské výšky CF.

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Eqn (3)

Souřadnice ortocentra #O (40, 34) #

Odpovědět:

Orthocenter: #(40,34)#

Vysvětlení:

Vypracoval jsem polořadovku zde (http://socratic.org/questions/what-is-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -and-2-8)

Závěr je orthocenter trojúhelníku s vrcholy # (a, b), # #(CD)# a #(0,0)# je

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Otestujme to použitím tohoto trojúhelníku a porovnáme výsledek s druhou odpovědí.

Nejprve překládáme (5, 6) na počátek, což dává další dva překládané vrcholy:

# (a, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, -4) #

Aplikujeme vzorec v překládaném prostoru:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4)) = (35,28) #

Teď překládáme náš výsledek:

Orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

To odpovídá druhé odpovědi!