Jak je goniometrická substituce odlišná od substituce u?

Odpovědět:

Obecně se pro integrály formuláře používá substituce trig # x ^ 2 + -a ^ 2 # nebo #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, zatímco # u #-substituce se používá, když se funkce a její derivát objeví v integrálu.

Vysvětlení:

Oba typy substitucí považuji za fascinující vzhledem k jejich úvahám. Uvažujme nejprve o substituci trig. Toto pochází z Pythagorean teoréma a Pythagorean identity, pravděpodobně dva nejdůležitější pojmy v trigonometrii. Používáme to, když máme něco jako:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # kde #A# je konstantní

#sqrt (x ^ 2 + a 2) -> # za předpokladu #A# je konstantní

Vidíme, že tyto dva vypadají strašně # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, který je Pythagorean teorém. Vztahuje se na dvě strany pravoúhlého trojúhelníku na hypotézu trojúhelníku. Pokud to vyvodíme, uvidíme, že ano, # x ^ 2 + a ^ 2 # může být reprezentován trojúhelníkem:

Obraz je velmi užitečný, protože nám to říká # tantheta = x / a #, nebo # atantheta = x #; toto tvoří základ trig substituce. Kromě toho (a to je místo, kde se dostane úžasné), když nahradíte # x = tantheta # do # x ^ 2 + a ^ 2 #, v tomto případě skončíte s Pythagorovou identitou # tan ^ 2theta + 1 = sec ^ 2theta #. Pak můžete udělat nějaké zjednodušení # sec ^ 2theta # pokud potřebujete, a integrál je snadno tam venku. Totéž platí pro případy # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, a #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Můžete použít trig sub. pro mnoho problémů, ale můžete použít # u #- náhrada pravděpodobně ještě více. Tuto techniku používáme, když máme něco podobného # intlnx / xdx #. Pokud jsme pozorní, vidíme, že máme dvě funkce - # lnx # a # 1 / x #. A pokud si pamatujeme naše základní deriváty, víme # d / dxlnx = 1 / x # pro #x> 0 # (nebo # d / dxlnabs (x) = 1 / x # pro #x! = 0 #). Takže myšlenka je říct nechat # u = lnx #; pak # (du) / dx = 1 / x # a # du = dx / x #. Problém po provedení těchto substitucí zjednodušuje # intudu # - mnohem jednodušší než dříve.

I když tyto dvě techniky mohou být odlišné, oba tyto cíle mají stejný účel: snížit integrál na jednodušší formu, abychom mohli použít základní techniky. Jsem si jistý, že mé vysvětlení nestačí k tomu, aby zahrnuly všechny konkrétní podrobnosti o těchto náhradách, a proto vyzývám ostatní, aby přispěli.